Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 134 SGK

Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính:

(3 + 2i) + (5 + 8i);

(7 + 5i) – (4 + 3i);

Lời giải:

(3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2 + 8)i = 8 + 10i.

(7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5 – 3)i = 3 + 2i.

Câu hỏi 2 trang 135 SGK

Theo quy tắc nhân đa thức với chú ý i2 = -1, hãy tính (3 + 2i)(2 + 3i).

Lời giải:

(3 + 2i)(2 + 3i) = 3.2 + 3.3i + 2i.2 + 2i.3i = 6 + 9i + 4i – 6 = 13i.

Câu hỏi 3 trang 135 SGK

Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.

Lời giải:

Các tính chất của phép cộng:

• Tính chất giao hoán: z₁ + z₂ = z₂ + z₁.

• Tính chất kết hợp: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃).

• Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z.

Các tính chất của phép nhân: 

• Tính chất giao hoán: z₁.z₂ = z₂.z₁.

• Tính chất kết hợp: (z₁.z₂). z₃ = z₁ .(z₂. z₃).

• Tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng: 

(z₁ + z₂) .z₃ = z₁.z₃ + z₂.z₃ 

• Nhân với 1: z.1 = 1.z = z

• Nhân với 0: z.0 = 0.z = 0.

Bài 1 trang 135 SGK

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – 5i) + (2 + 4i)

b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i)

c) (4 + 3i) – (5 – 7i)

d) (2 – 3i) – (5 – 4i)

Lời giải:

a) Ta có: (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i

b) Ta có: (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i

c) Ta có: (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + [3 – (-7)]i = -1 + 10i

d) Ta có: (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i

Kiến thức áp dụng

Cộng hai số phức z1 = a1 + b1.i và z2 = a2 + b2i z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2).i

Bài 2 trang 136 SGK

Tính α + β, α – β, biết:

a) α = 3, β = 2i

b) α = 1 – 2i, β = 6i

c) α = 5i, β = -7i

d) α = 15; β = 4 – 2i

Lời giải:

a) α + β = 3 + 2i;

    α – β = 3 – 2i

b) α + β = (1 – 2i) + 6i = 1 + 4i;

    α – β = (1 – 2i) – 6i = 1 – 8i

c) α + β = 5i + (-7i) = -2i;

    α – β = 5i – (-7i) = 12i

d) α + β = 15 + (4 – 2i) = 19 – 2i;

    α – β = 15 – (4 – 2i) = 11 + 2i

Kiến thức áp dụng

Cho hai số phức z1 = a1 + b1.i và z2 = a2 + b2i z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2).i z1 - z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2).i

Bài 3 trang 126 SGK

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – 2i)(2 – 3i)

b) (-1 + i)(3 + 7i)

c) 5(4 + 3i)

d) (-2 – 5i)4i

Lời giải:

a) (3 – 2i)(2 – 3i) = 3. 2 – 3. 3i - 2i.2 – 2i. (- 3i) = 6 – 9i – 4i – 6 = (6 – 6) + (-9 – 4)i = -13i

b) (-1 + i)(3 + 7i) = -1.3 + (-1).7i +i.3 + i. 7i = -3 – 7i + 3i – 7 = (-3 – 7) + (- 7+3)i = -10 – 4i

c) 5(4 + 3i) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i

d) (-2 – 5i).4i = -2. 4i – 5i. 4i = -8i + 20 = 20 - 8i

Kiến thức áp dụng

Cho hai số phức z1 = a1 + b1.i và z2 = a2 + b2i z1.z2 = (a1 + b1i).(a2 + b2i)          = a1a2 + b1b2.i2 + (a2b1 + a1b2).i          = (a1a2 – b1b2) + (a2b1 + a1b2).i

Bài 4 trang 136 SGK

Tính i³ , i⁴， i⁵.

Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tùy ý:

Lời giải:

• i³ = i².i= -1i = -i.

   i⁴ = i².i² = -1.(-1) = 1

   i⁵ = i⁴.i = 1.i = i

• Với n là số tự nhiên bất kì ta có :

Nếu n = 4k ⇒ iⁿ = i^4k = (i4)^k = 1^k = 1.

Nếu n = 4k + 1 ⇒ iⁿ = i^{4k + 1} = i^4k.i = 1.i = i.

Nếu n = 4k + 2 ⇒ iⁿ = i^{4k + 2} = i^4k.i² = 1.(-1) = -1.

Nếu n = 4k + 3 ⇒ iⁿ = i^{4k + 3} = i^4k.i³ = 1.(-i) = -i.

Kiến thức áp dụng

i2 = -1

Bài 5 trang 136 SGK

Tính:

a) (2 + 3i)²

b) (2 + 3i)³

Lời giải:

a) Ta có: (2 + 3i)² = 2² + 2.2.3i + (3i)² = 4 + 12i – 9 = (4 – 9) + 12i = -5 + 12i

Tổng quát (a + bi)² = a² – b² + 2abi

b) Ta có:

(2 + 3i)³ = (2 + 3i)².(2 + 3i)

              = (-5 + 12i).(2 + 3i)

              = (-5.2 – 12.3) + (-5.3 + 12.2)i

              = -46 + 9i

Lưu ý: Có thể tính (2 + 3i)³ bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức

(2 + 3i)³ = 2³ + 3.2².3i + 3.2.(3i)² + (3i)³

              = 8 + 36i + 54.(-1) + 27.(-1).i

              = (8 – 54) + (36 – 27)i

              = -46 + 9i

Kiến thức áp dụng

+ Cho hai số phức z1 = a1 + b1.i và z2 = a2 + b2i z1.z2 =(a1a2 – b1b2) + (a2b1 + a1b2).i + i2 = -1.