Bài 2. Tích phân | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Giải câu hỏi và bài tập SGK Giải tích 12.


Câu hỏi 1 trang 101 SGK

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-0

3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).

Lời giải:

1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1, 0), D là điểm có tọa độ (5, 0).

Gọi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1, 3) và (5, 11).

- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4.

Diện tích hình thang ABCD là:

SABCD = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-1(AB + CD).AD = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-2(3 + 11).4 = 28

2. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1, 0), D là điểm có tọa độ (5, 0).

Gọi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

- Khi đó ta có B (1, 3) và C(t, 2t + 1).

- Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.

- Khi đó diện tích hình thang ABCD là:

SABCD = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-3(AB + CD).AD = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-4(3 + 2t + 1).(t – 1) = t2 + t – 2

Vậy S(t) = t2 + t – 2.

3. Vì S’(t) = (t2 + t – 2)’ = 2t + 1 nên hàm số S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5].

Ta có: S(5) = 52 + 5 – 2 = 28; S(1) = 12 + 1 – 2 = 0

Do đó: S(5) – S(1) = 28 – 0 = 28 = S (đã tính ở câu a)

Vậy S = S(5) – S(1).

Câu hỏi 2 trang 104 SGK

 Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Lời giải:

- Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f(x) nên tồn tại một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C

- Khi đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).

Câu hỏi 3 trang 106 SGK

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Lời giải:

+ Tính chất 1:

- Nếu k = 0 thì tính chất đúng.

- Nếu k ≠ 0 thì ta có ∫k.f(x)dx = k.∫f(x)dx = F(x)

∫f(x)dx = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-5

Khi đó

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-6

+ Tính chất 2:

Giả sử F(x), G(x) lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số f(x), g(x). 

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-7

Câu hỏi 4 trang 108 SGK

Cho tích phân hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-8.

1. Tính I bằng cách khai triển (2x +1)2.

2. Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức (2x +1)2dx thành g(u)du.

3. Tính  hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-9 và so sánh kết quả với I trong câu 1.

Lời giải:

1.

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-10

2. Vì u = 2x + 1 nên du = 2dx.

Ta có: (2x +1)2dx = hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-11

3. Ta có: u(1) = 3; u(0) = 1.

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-12

Câu hỏi 5 trang 110 SGK

a) Hãy tính ∫(x+1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

b) Từ đó tính hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-13

Lời giải:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-14

Bài 1 trang 112 SGK

Tính các tích phân sau:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-15

Lời giải:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-16

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-17

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-18

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-19

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-20

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-21

Kiến thức áp dụng

+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-22

+ Một số nguyên hàm sử dụng:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-23

Bài 2 trang 112 SGK

Tính các tích phân.

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-24

Lời giải:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-25

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-26

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-27

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-28

Bài 3 trang 113 SGK

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-29

Lời giải:

a) Đặt u = 1 + x. Suy ra: du = dx và x = u – 1 nên x2 = (u – 1)2

Đổi cận:

x 0 3
u 1 4

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-30

b) Đặt x = sin t (0 < t < hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-31)

Suy ra: dx = cost.dt

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-32

Đổi cận:

x 0 1
t 0 hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-33

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-34

c) Đặt u = 1 + x.ex

Suy ra: du = (ex + xex) dx = ex(1 + x) dx

Đổi cận:

x 0 1
t 1 1 + e

Khi đó, ta có:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-35

d) Đặt x = a.sint (0 ≤ t < 2π)

Suy ra: dx = a. cost dt.

Ta có:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-36

Đổi cận:

x 0 hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-37
t 0 hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-38

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-39

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp đổi biến số tính tích phân hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-40

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Có hai cách đổi biến số:

Cách 1:

Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ'(t).dt

Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-41

Cách 2:

Đặt u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx

Giả sử f(x) viết được dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-42

Bài 4 trang 113 SGK

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-43

Lời giải:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-44

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-45

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-46

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-47

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp tích phân từng phần:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-48

Bài 5 trang 113 SGK

Tính các tích phân.

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-49

Lời giải:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-50

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-51

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-52

Bài 6 trang 113 SGK

Tính hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-53 bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x;

⇒ du = -dx

Đổi biến:

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-54

hinh-anh-bai-2-tich-phan-3622-55

Tin tức mới


Đánh giá

Bài 2. Tích phân | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Tổng số sao của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá
Xếp hạng: 5 / 5 sao

Bình Luận

Để Lại Bình Luận Của Bạn

Tin tức mới

Bộ Sách Lớp 12

Giáo Dục Việt Nam

Bộ Sách Giáo Khoa của Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam

Tài liệu học tập

Đây là tài liệu tham khảo hỗ trợ trong quá trình học tập

Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo

Bộ sách Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo là sự kết hợp giữa ngôn ngữ Tiếng Anh theo lối giảng dạy truyền thống và cập nhật những phương thức quốc tế

Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách giáo khoa của nhà xuất bản Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách Bài Giải

Bài giải cho các sách giáo khoa, sách bài tập

Sách Sách Bài Giải

Lớp 12

Sách giáo khoa dành cho lớp 12

Liên Kết Chia Sẻ

** Đây là liên kết chia sẻ bới cộng đồng người dùng, chúng tôi không chịu trách nhiệm gì về nội dung của các thông tin này. Nếu có liên kết nào không phù hợp xin hãy báo cho admin.