Bài 2. Hàm số lũy thừa | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 57 SGK

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng:

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = x²: đường màu đỏ.

Đồ thị của hàm số y = x^1/2: đường màu xanh.

Đồ thị của hàm số y = x^-1 đường màu tím.

Ta có:

Tập xác định của hàm số y = x² là D1 = ℝ.

Tập xác định của hàm số y = x^1/2 là D2 = [0; +∞).

Tập xác định của hàm số y = x^-1 là D3 = ℝ\{0}.

Câu hỏi 2 trang 57 SGK

Tính đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

Câu hỏi 3 trang 58 SGK

Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 1 trang 60 SGK

Tìm tập xác định của các hàm số:

Lời giải:

a) Hàm số xác định

⇔ 1 – x > 0

⇔ x < 1.

Vậy tập xác định D = (-∞ ;  1).

b) Hàm số xác định

⇔ 2 – x² > 0

⇔ x² < 2

⇔ −√2< x <√2

Vậy tập xác định D = (−√2 ; √2).

c) Hàm số y = (x² – 1)^-2 xác định khi và chỉ khi:

x² - 1 ≠ 0 ⇔ x² ≠ 1 ⇔ x ≠ ±1

Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ {-1; 1}.

d) Hàm số xác định

⇔ x² – x – 2 > 0

⇔ (x + 1)(x – 2) > 0

⇔ x < -1 hoặc x > 2

Vậy tập xác định D = (-∞ ; -1) ∪ (2 ; +∞).

Kiến thức áp dụng

1. Khi xét lũy thừa với số mũ 0 hoặc số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0. 2. Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

Bài 2 trang 61 SGK

Tìm các đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Đạo hàm của hàm số y = uα là: y' = (uα)' = α.uα – 1.u'

Bài 3 trang 61 SGK

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Lời giải:

a) Xét hàm số ta có:

- Tập khảo sát: (0 ; +∞).

- Sự biến thiên:

+

với ∀ x > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận: Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị hàm số:

b) Xét hàm số y = x^-3, ta có :

- Tập xác định: D = ℝ\{0}

- Sự biến thiên:

+ y' = -3.x^{-3 - 1} = -3.x^-4 < 0 với ∀ x ∈ D.

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (– ∞; 0) và (0 ; +∞).

+ Giới hạn:

Suy ra: x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Kiến thức áp dụng

y = xα; α > 0	y = xα; α < 0
1. Tập khảo sát: (0; +∞) 2. Sự biến thiên y' = α.xα – 1 > 0; ∀x > 0 Giới hạn đặc biệt Tiệm cận: Không có + Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1 ; 1)	1. Tập khảo sát: (0; +∞) 2. Sự biến thiên y' = α.xα – 1 < 0; ∀x > 0 Giới hạn đặc biệt Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang Trục Oy là tiệm cận đứng + Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1 ; 1)

Bài 4 trang 61 SGK

Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)^2,7;

b) (0,2)^0,3;

c) (0,7)^3,2;

d) (√3)^0,4.

Lời giải:

a)

Cách 1. Ta có: 2,7 > 0 nên hàm y = x^2,7 luôn đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 4,1 > 1 ⇒ (4,1)^2,7 > 1^2,7 = 1.

Cách 2. Ta có 4,1 > 1 và 2,7 > 0 nên ta có :

(4,1)^2,7 > (4,1)⁰ hay (4,1)^2,7 > 1

b) Ta có: 0,3 > 0 nên hàm số y = x^0,3 đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 0,2 < 1 ⇒ 0,2^0,3 < 1^0,3 = 1.

c) Ta có: 3,2 > 0 nên hàm số y = x^3,2 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì 0,7 < 1 ⇒ 0,7^3,2 < 1^3,2 = 1.

d) Ta có: 0,4 > 0 nên hàm số y = x^0,4 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì √3 > 1 ⇒ (√3)^0,4 > 1^0,4= 1.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = xα có y' = α.xα – 1 > 0 với α > 0 và x > 0 ⇒ Hàm số luôn đồng biến với > 0 và x > 0 Hay: Với α > 0, nếu x1 < x2 thì x1α < x2α Với mọi α > 0 ta có : 1α = 1

Bài 5 trang 61 SGK

Hãy so sánh các cặp số sau:

Lời giải:

Hàm số y = x^α luôn đồng biến trên (0 ; +∞) với α > 0

a) Ta có: 7,2 > 0

Vì 3,1 < 4,3 nên (3,1)^7,2 < (4,3)^7,2.

b) Ta có: 2,3 > 0

c) Ta có: 0,3 > 0

Vì 0,3 > 0,2 nên (0,3)^0,3 > (0,2)^0,3.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = xα có y' = α.xα – 1 > 0 với α > 0 và x > 0 ⇒ Hàm số luôn đồng biến với > 0 và x > 0 Hay: Với α > 0, nếu x1 < x2 thì x1α < x2α