Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 139 SGK

Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a?

Lời giải:

Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho b² = a.

Bài 1 trang 140 SGK

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121

Lời giải:

Căn bậc hai của -7 là ±i√7 vì (±i√7)² = -7

Căn bậc hai của -8 là ±2√2i vì (±2√2i)² = -8

Căn bậc hai của -12 là ±2√3i vì (±2√3i)² = -12

Căn bậc hai của -20 là ±2√5i vì (±2√5i)² = -20

Căn bậc hai của -121 là ±11i vì (±11i)² = -121

Kiến thức áp dụng

Căn bậc hai của số thực a âm là .

Bài 2 trang 140 SGK

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z² + 2z – 1 = 0

b) 7z² + 3z + 2 = 0

c) 5z² – 7z + 11 = 0

Lời giải:

a) Phương trình -3z² + 2z – 1 = 0

có Δ' = 12 – 3 = -2

⇒ Phương trình có hai nghiệm

b) Phương trình 7z² + 3z + 2 = 0

có Δ = 32 – 4.7.2 = -47 < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

c) Phương trình 5z² – 7z + 11 = 0

có Δ = 72 – 4.5.11 = -171 < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có Δ = b2 – 4ac + Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: + Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép + Nếu Δ < 0, phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt

Bài 3 trang 140 SGK

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + z² – 6 = 0

b) z⁴ + 7z² + 10 = 0

Lời giải:

a) z⁴ + z² – 6 = 0

⇔ z⁴ – 2z² + 3z² – 6 = 0

⇔ z² .(z² – 2)+ 3. (z² – 2) = 0

⇔ (z² – 2)(z² + 3) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) z⁴ + 7z² + 10 = 0

⇔ z⁴ + 5z² + 2z² + 10 = 0

⇔ z² (z² + 5) + 2.(z² + 5) = 0

⇔ (z² + 2)(z² + 5) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm

Bài 4 trang 140 SGK

Cho a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình az₂ + bz + c = 0.

Hãy tính z₁ + z₂ và z₁.z₂ theo hệ số a, b, c.

Lời giải:

Cách 1:

Phương trình az₂ + bz + c = 0 có Δ = b₂ – 4ac

+ TH1: Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức

+ TH2: Δ ≥ 0, theo định lý Vi-et ta có:

Cách 2:

Vì z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình az₂ + bz + c = 0 nên ta có:

a.z₁² + bz₁ + c = 0 (1)

az₂² + bz₂ + c = 0 (2).

+ Trừ hai vế tương ứng của (1) cho (2) ta được:

a.(z₁² – z₂²) + b(z₁ – z₂) = 0

⇔ a.(z₁ – z₂)(z₁ + z₂) + b.(z₁ – z₂) = 0

⇔ a.(z₁ + z₂) + b = 0

Bài 5 trang 140 SGK

Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và

làm nghiệm.

Lời giải: