Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học. | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Giải câu hỏi và bài tập SGK Giải tích 12.


Câu hỏi 1 trang 114 SGK

Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5.

So sánh với diện tích hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2.

Lời giải:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-0

Gọi A(1; 0), D(5; 0)

B là giao điểm của đường thẳng x = 1 với đường thẳng y = -2x – 1 thì B(1; -3)

C là giao điểm của đường thẳng x = 5 với đường thẳng y = -2x − 1 thì C(5; -11)

Diện tích hình thang SABCD = hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-1 

Diện tích hình thang này bằng diện tích hình thang vuông trong hoạt động 1 bài 2.

Câu hỏi 2 trang 117 SGK

Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.

Lời giải:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao là h là:

V = B.h.

Câu hỏi 3 trang 119 SGK

Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.

Lời giải:

- Khái niệm mặt tròn xoay: Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh Δ một góc 360o thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc Δ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với Δ. Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng Δ thì đường C sẽ tao nên một hình được goi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng Δ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-2

- Khái niệm khối tròn xoay: Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định (trục quay) của hình.

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-3

Bài 1 trang 121 SGK

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x2; y = x + 2

b) y =|lnx|; y = 1

c) y = (x – 6)2; y = 6x – x2

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-4

Vậy diện tích cần tìm là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-5

b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-6

Vậy diện tích cần tìm là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-7

(Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-8).

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-9

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt:

(x – 6)2 = 6x – x2

⇔ (x – 6)2 + x2 – 6x = 0

⇔ (x – 6). (x – 6+ x) = 0

⇔ (x – 6)(2x – 6) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 6

Vậy diện tích cần tìm là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-10

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-11

Bài 2 trang 121 SGK

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1 tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2 ; 5) và trục Oy.

Lời giải:

Xét hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm y’ = 2x

Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x2 + 1 tại điểm M(2 ; 5) là:

y = y’(2).(x – 2) + 5 ⇔ y = 4(x – 2) + 5 hay y = 4x – 3

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và tiếp tuyến là :

x2 + 1 = 4x – 3 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x= 2

Vậy diện tích hình giới hạn bởi y = x2 + 1; tiếp tuyến y = 4x – 3 và trục Oy (x = 0) là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-12

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-13

+ Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) là:

y = f’(x0).( x – x0) + y0

Bài 3 trang 121 SGK

Parabol hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-14 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Lời giải:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-15

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-16

Bài 4 trang 121 SGK

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox.

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-17

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-18

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-19

b) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-20

c) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-21

Kiến thức áp dụng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo thành là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-22

Bài 5 trang 121 SGK

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-23

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox (H.63).

a) Tính thể tích của V theo α và R.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-24

Lời giải:

a) Ta có: OP = OM.cosα = R. cosα

Phương trình đường thẳng OM đi qua O nên có dạng: y = k.x

OM tạo với trục hoành Ox 1 góc

⇒ Hệ số góc k = tanα

⇒ OM: y = x.tanα

Vậy khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x.tanα; y = 0; x = 0; x = R.cosα quay quanh trục Ox

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-25

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-26

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng: y = kx.

Trong đó, k là hệ số góc và k = tan α với α là góc tạo bởi đưởng thẳng và tia Ox.

+ Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (a < b) là:

hinh-anh-bai-3-ung-dung-cua-tich-phan-trong-hinh-hoc-3623-27

 

Tin tức mới


Đánh giá

Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học. | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Tổng số sao của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá
Xếp hạng: 5 / 5 sao

Bình Luận

Để Lại Bình Luận Của Bạn

Tin tức mới

Bộ Sách Lớp 12

Giáo Dục Việt Nam

Bộ Sách Giáo Khoa của Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam

Tài liệu học tập

Đây là tài liệu tham khảo hỗ trợ trong quá trình học tập

Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo

Bộ sách Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo là sự kết hợp giữa ngôn ngữ Tiếng Anh theo lối giảng dạy truyền thống và cập nhật những phương thức quốc tế

Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách giáo khoa của nhà xuất bản Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách Bài Giải

Bài giải cho các sách giáo khoa, sách bài tập

Sách Sách Bài Giải

Lớp 12

Sách giáo khoa dành cho lớp 12

Liên Kết Chia Sẻ

** Đây là liên kết chia sẻ bới cộng đồng người dùng, chúng tôi không chịu trách nhiệm gì về nội dung của các thông tin này. Nếu có liên kết nào không phù hợp xin hãy báo cho admin.