Bài 1. Nguyên hàm | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 93 SGK

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x² với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 

 với x ∈ .

Lời giải:

a) F(x) = x³ vì (x³)' = 3x²

b) F(x) = tanx vì (tanx)' = .

Câu hỏi 2 trang 93 SGK

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

a) Có thể chọn F(x) = x² + 8 do (F(x))' = (x² + 8)’ = 2x + 0 = 2x.

Tổng quát F(x) = x² + C với C là số thực.

b) Có thể chọn F(x) = lnx + 17, do (F(x))’ = , x ∈ (0; +∞).

Tổng quát F(x) = lnx + C, x ∈ (0;+∞) với C là số thực.

Câu hỏi 3 trang 93 SGK

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))' = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + (C)' = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Câu hỏi 4 trang 95 SGK

Hãy chứng minh Tính chất 3.

Lời giải:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x);

      G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Ta có f(x)=F′(x),g(x)=G′(x).

Suy ra ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫[F′(x) ± G′(x)]dx = ∫[F(x) ± G(x)]′dx = F(x) ± G(x) + C

Lại có ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = ∫F′(x)dx ± ∫G′(x)dx = F(x) ± G(x) + C.

Vậy ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx (đpcm)

Câu hỏi 5 trang 96 SGK

Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.

Lời giải:

f’(x)	f(x) + C
0	C
αxα –1	xα + C
	lnx + C nếu x > 0, ln (– x) + C nếu x < 0.
ex	ex + C
ax lna (a > 0, a ≠ 1)	ax + C
cosx	sin x + C
– sinx	cosx + C
	tanx + C
	cotx + C

Câu hỏi 6 trang 98 SGK

a) Cho ∫(x - 1)¹⁰ dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x - 1)¹⁰dx theo u và du.

b) Cho . Đặt x = e^t, hãy viết theo t và dt.

Lời giải:

a) Ta có du = d(x – 1) = dx.

Suy ra: (x – 1)¹⁰dx = u¹⁰ du.

b) Ta có dx = d(e^t) = e^tdt, do đó

= = tdt.

Câu hỏi 7 trang 99 SGK

Ta có (xcosx)’ = cosx – xsinx

hay  - xsinx = (xcosx)’ – cosx.

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = xcosx + C₁ và ∫ cosxdx = sinx + C₂.

Từ đó

∫ xsinxdx = - ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = - xcosx – C₁ + sinx + C₂ = - xcosx + sinx + C.

Kiến thức áp dụng

Sử dụng công thức ∫f′(x)dx = f(x) + C và các tính chất của nguyên hàm.

Câu hỏi 8 trang 100 SGK

Cho P(x) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

∫ P(x)ex dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)
exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)	P(x)	P(x)lnx
exdx	cosxdx	dx

Bài 1 trang 100 SGK

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

Lời giải:

a) Ta có: (-e^-x)' = -e^-x.(-x)' = e^-x

⇒ -e^-x là một nguyên hàm của hàm số e^-x

⇒ ∫(e^-x)dx = -e^-x + C

Lại có : ( e^-x )’ = e^-x. (-x)’ = - e^-x

Suy ra, e^-x là một nguyên hàm của hàm số -e^-x

Vậy ∫ -e^-xdx = e^-x + C

b) (sin²x)' = 2.sinx.(sinx)' = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin²x là một nguyên hàm của hàm số.

⇒ ∫sin2xdx = sin²x + C

 

Kiến thức áp dụng

+ F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: f’(x) = F(x) + Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tất cả các hàm số có dạng F(x) + C (C là một hằng số bất kì) đều là nguyên hàm của hàm số f(x). Kí hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C

Bài 2 trang 100,101 SGK

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

Lời giải:

Bài 3 trang 101 SGK

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

Lời giải:

Bài 4 trang 101 SGK

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) ∫xln(1 + x)dx;

b) ∫(x² + 2x − 1)e^xdx;

c) ∫xsin(2x + 1)dx;

d) ∫(1 − x)cosxdx.

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫u'(x).v(x)dx hay viết ngắn gọn: ∫udv = uv – ∫vdu + Một số công thức nguyên hàm: