Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG I - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 1 trang 7 SGK

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Lời giải:

a. Hàm số y = 2x³ + 3x² + 1 xác định trên R.

Ta có: y' = 6x² + 6x = 0 = 6x (x + 1)

y' = 0 => x = 0 hoặc x = -1

Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (0; +∞) nghịch biến trên (-1;0)

b. Tập xác định: R

Đạo hàm y’ = 3x² – 4x + 1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 1/3) và (1; +∞) nghịch biến trên ( 1/3; 1)

c. Tập xác định: R\{0}

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞,-√3) và (√3; +∞) hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-√3; 0) và (0; √3)

d. Tập xác định: D = R\ {0}

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)

e. Tập xác định: R

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

f. Hàm số

Tập xác định : D = [-2; 2]

Đạo hàm:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên [-2; 0] và nghịch biến trên [0; 2] (có thể trả lời: hàm số đồng biến trên (-2; 0) và nghịch biến trên (0; 2).

Bài 2 trang 7 SGK

Chứng minh rằng:

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

a. Hàm số xác định trên R \ {-2}

Ta có đạo hàm:

Nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -2) và (-2 ; +∞)

b. Hàm số xác định trên R \ {-1}

Đạo hàm:

Nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -∞; -1) và (-1; +∞)

Bài 3 trang 8 SGK

Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R:

a)f(x) = x³ – 6x² + 17x + 4 = 0;

b) f(x) = x³ + x – cos⁡x – 4

Lời giải:

a. Hàm số f(x) = x³ – 6x² + 17x + 4 = 0 xác định trên R.

Ta có f' (x) = 3x² – 12x + 17 = 3(x –2)² + 5 > 0 ∀x ∈ R.

Nên hàm số đồng biến trên R.

b. Hàm số f(x) xác định trên R.

Và f' (x) = 3x² + 1 + sin⁡x > 0 ∀x ∈ R

Vì: x² ≥ 0; 1 + sinx ≥ 0; 3x² + 1 + sin⁡x = 0 vô nghiệm nên hàm số đồng biến trên R.

Bài 4 trang 8 SGK

Với giá trị nào của a, hàm số y = ax – x³ nghịch biến trên R?

Lời giải:

Hàm số xác định trên R, y' = a – 3x²

Cách 1. Nếu a < 0 => y’ < 0 ∀x ∈ R => hàm số nghịch biến trên R.

Nếu a = 0 => y’ = -3x² ≤ 0, ∀x ∈ R, y' = 0 ⇔ x = 0

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

Nếu a > 0 thì y' = 0

Bảng biến thiên:

Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y' ≤ 0, ∀x ∈ R, y'= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: y' ≤ 0 ⇔ a – 3x² ≤ 0, ∀x ⇔ 3x² ≥ a² ∀x ∈ R

⇔ a ≤ min⁡(3x² ), mà 3x² ≥0 ∀x ∈ R

⇔ a ≤ min⁡(3x²), mà 3x² ≥ 0 ∀x ∈ R

Kết luận: với a ≤ 0 thì y = ax – 3x³ nghịch biến trên R.

Bài 5 trang 8 SGK

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số

đồng biến trên R.

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: f’ = x² + 2ax + 4 có

Để hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

Kết luận: Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi -2 ≤ a ≤ 2

Chú ý: Để tam thức bậc hai f(x)= ax² + bx + c ≤ 0; ∀ x khi và chỉ khi:

Luyện tập

Bài 6 trang 8 SGK

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Lời giải:

TXĐ: D = R

y′ = x² − 4x + 4 = (x − 2)² ≥ 0, ∀x ∈ R

Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 2

Vậy hàm số đồng biến trên R.

TXĐ: D = R

y′ = −4x² + 12x − 9

   = −(4x² −12x + 9)

   = −(2x − 3)² ≤ 0, ∀x ∈ R

Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = .

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

TXĐ: D = R∖{5}

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 5) và (5; +∞).

Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x − x² ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2.

TXĐ: D = [0; 2]

y′ = 0 ⇔ x = 1 (y = 1)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bảng biến thiên:

TXĐ: D = R

(vì x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2 > 0, ∀x ∈ R)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

TXĐ: D = R∖{−1}

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) .

Bài 7 trang 8 SGK

Chứng minh rằng hàm số: f(x) = cos2x − 2x + 3 nghịch biến trên R.

Lời giải:

TXĐ: D = R

f′(x) = -2sin2x − 2

       = -2(sin2x + 1)

Do -1 ≤ sin2x ≤ 1

⇒ sin2x + 1 ≥ 0, ∀x

⇒ f′(x) = -2(sin2x + 1) ≤ 0, ∀x

f′(x) = 0 ⇔ sin2x = -1 

⇔ 2x = + k2π, k ∈ Z 

⇔ x = + kπ, k ∈ Z

Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn [

+ kπ; + (k + 1)π]

Vậy hàm số nghịch biến trên R.

Bài 8 trang 8 SGK

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:

a) sinx < x với mọi x > 0, sinx > x với mọi x < 0

Bài 9 trang 9 SGK

Chứng minh rằng

Hướng dẫn

Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng (0; ).

Lời giải:

Bài 10 trang 9 SGK

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức

(f(t) được tính bằng nghìn người).

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.

b) Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Tính f′ và xét chiều biến thiên của hàm số f trên nửa khoảng [0; +∞)

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người/năm).

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.

• Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?

Lời giải:

a)

b)

c)