Bài 6. Hàm số lũy thừa | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG II - HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 57 trang 117 SGK

Trên hình 2.10 cho hai đường cong (C₁) (đường nét liền) và (C₂) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của một trong hai hàm số lũy thừa y = x^-2 và y = x^-1/2 (x > 0). Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, em có thể nhận đường cong nào là đồ thị hàm số nào được không? Hãy nêu rõ lập luận.

Lời giải:

Bài 58 trang 117 SGK

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

a) y' = π((2x + 1)(π – 1) (2x + 1)' = 2 π(2x + 1)(π – 1)

Luyện tập

Bài 59 trang 117 SGK

Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm):

Lời giải:

Bài 60 trang 117 SGK

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = a^x và y = (1/a)^x đối xứng với nhau qua trục tung (h.2.2 với a = 2 ).

b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số y = log_a⁡x và y = log_1/a⁡x đối xứng nhau qua trục hoành (h.2.4 với a = 2 ).

Lời giải:

a) Gọi (C₁) và (C₂) lần lượt là đồ thị của các hàm số y = a^x và y = (1/a)^x.

Lấy điểm M(x₀; y₀) là một điểm bất kì thuộc đồ thị (C₁). Khi đó điểm đối xứng với M qua trục tung là M'(-x₀; y₀)

Ta có: M ∈ (C₁ ) ⇔ y₀ = a^x₀

Điều đó chứng tỏ (C₁) và (C₂ )đối xứng nhau qua trục tung.

b) Chứng minh tương đương bài a, chú ý điểm đối xứng với M(x₀; y₀ ) qua trục hoành là điểm M'(x₀; -y₀)

M ∈ (C₁ ) ⇔ y₀ = log_a⁡x₀ ⇔ y₀ = -log_1/a⁡x₀ ⇔ -y₀ = log_1/a⁡x₀ ⇔ M'∈ (C₂)

Bài 61 trang 118 SGK

Vẽ đồ thị hàm số y = log_0,5⁡x. Dựa vào đồ thị, hãy giải các bất phương trình sau:

a) log_0,5⁡x > 0;                                                                         b) -3 ≤ log_0,5⁡x < -1.

Lời giải:

Đồ thị hàm số là hình vẽ bên.

a) Ta có: log_0,5x > 0 là những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ dương.

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra: log_0,5x > 0 khi 0 < x < 1

b) -3 ≤ log_0,5x < -1 (y = log_0,5⁡x là những điểm trên đồ thị có tung độ thuộc nửa khoảng [-3; 1))

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra:

-3 ≤ log_0,5⁡x < -1 ⇔ 2 < x ≤ 8

Bài 62 trang 118 SGK

Vẽ đồ thị của hàm số . Dựa vào đồ thị, hãy giải thích các bất phương trình sau:

a) (√3)^x ≤ 1;                                                                         b) (√3)^x < 3.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = (√3)^x có hình vẽ bên.

a) (√3)^x ≤ 1 (tung độ y = (√3)^x không lớn hơn 1)

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra: x ≤ 0.

b) (√3)^x > 3 (tung độ y = (√3)^x lớn hơn 3)

Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra x > 2.