Bài 2. Cực trị của hàm số | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG I - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Bài 11 trang 16 và 17 SGK

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: f’(x) = x² + 4x +3

Từ đó f’(x) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3

Cách 1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là: f_CĐ = f(-3) = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiển của hàm số là f_CT = f(-1) = -7/3

Cách 2. f’’(x) = 2x + 4 ⇒ f’’(-3) = -2 < 0; f’’(-1) = 2 > 0

Vậy hàm đạt cực đại tại điểm x = -3 giá trị cực đại của hàm số là:

f_CĐ = f(-3) = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, f_CT = f(-1) = -7/3

b) Tập xác định: R

f'(x) = x² – 2x + 2 = (x – 1)² + 1 > 0, ∀x ∈ R => f(x) luôn đồng biến nên hàm số không có cực trị.

c) Tập xác định: R \ {0}

Cách 1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại tại x = -1; f_CĐ = f(-1 )= -2

Hàm số cực tiểu tại x = 1; f_CT = f(1) = 2

Cách 2. 

Vì f’’(- 1) = -2 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1; f_CĐ = f(-1) = -2

f''(1) = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; f_CT = f(1) = 2

d) f(x) xác định liên tục trên R.

Ta có:

Với x > 0, f'(x) = 2x + 2

Từ đó f'(x) = 0 ⇔ x = -1 (loại)

Với x < 0, f'(x) = -2x – 2

Từ đó f'(x) = 0 ⇔ x = -1 (thỏa mãn)

Với x = 0, hàm số không có đạo hàm (chú ý sgk giải tích 12 nâng cao trang 12)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, f_CĐ = f(-1) = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, f_CT = f(0) = 0

Chú ý: mặc dù không tồn tại đạo hàm tại điểm, nhưng hàm số vẫn có thể đạt cực trị tại điểm này.

e) Tập xác định D = R

f’(x) = x⁴ – x²

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, f_CĐ = f(-1) = 32/15 và hàm số cực tiểu tại x = 1; f_CT = f(1) = 28/15

f) Tập xác định D = R \ {1}

Ta có:

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại tại x = 0, f_CĐ = f(0) = -3 và hàm số cực tiểu tại x = 2; f_CT = f(2) = 1

Bài 12 trang 17 SGK

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Tập xác định: [-2; 2]

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -√2, y_CT = y(-√2 ) = -2

Hàm số đạt cực đại tại x = √2, y_CĐ = y(√2) = 2

b) Tập xác định: [-2√2; 2√2]

Bảng biến thiên:

Hàm số cực đại tại x = 0; y_CĐ = y(0) = 2√2

Hàm số không có cực tiểu.

c) Tập xác định: R

y' = (x – sin⁡2x + 2)' = 1 – 2 cos⁡2x

Vậy hàm số cực đại tại điểm

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

d) Tập xác định: R

y'= 2sin⁡x + 2sin⁡2x = 2sin⁡x(1 + 2cos⁡x )

=> y''(kπ) > 0 (có thể viết: y''(kπ) = 4 + 2 cos⁡(kπ)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm

Bài 13 trang 17 SGK

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1.

Lời giải:

Ta có f’(x) = 3ax² + 2bx + c ⇒ f'(0) = c ; f'(1) = 3a + 2b + c

Vì f(0) = 0 ⇒ d= 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 nên f’(0) = 0 ⇒ c =0; f(1) = a + b = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f’(1) = 0 ⇒ 3a + 2b = 0

Ta được a = -2; b = 3

Vậy f(x) = -2x³ + 3x²

Thử lại f’(x) = -6x² + 6x; f''(x) = -12x + 6

f’(0) > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

f’(1) = -6 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

Đáp số: a = -2; b = 3; c = 0 ; d = 0

Bài 14 trang 17 SGK

 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số: (x) = x³ + ax² + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua A(1; 0)

Lời giải:

f'(x) = 3x² + 2ax + b

Điền kiện cần:

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 ⇒ f’(-2) = 0 và f(-2) = 0

Hay -4a + b + 12 = 0 (1) và 4a – 2b + c – 8 = 0 (2)

Đồ thị đi qua A(1; 0) ⇒ a + b + c + 1 = 0

Giải hệ Phương trình (1), (2), (3) ta được a = 3; b = 0; c = -4

Điều kiện đủ:

Xét f(x) = x³ + 3x² – 4. Ta có: đồ thị hàm số f(x) đi qua A(1; 0)

f’(x) = 3x² + 6x ⇒ f''(x) = 6x + 6

f’(-2) = 0; f’’(2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f(-2) = 0

Đáp số:a = 3; b = 0; c = -4

Bài 15 trang 17 SGK

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số

luôn có cực đại và cực tiểu.

Lời giải:

Hàm số được viết lại là:

Hàm số xác định ∀x ≠ m

Bảng biến thiên

Vậy với mọi giá trị của m, hàm số đạt được cực đại tại x = m – 1 và đạt cực tiểu tại x = m + 1.