Bài 6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG III - NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 29 Trang 172 SGK

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (-1 ≤ x < 1) là một hình vuông cạnh 2 √(1 – x² ).

Lời giải:

Diện tích của thiết diện là:

Thể tích của vật thể cần tìm là:

Bài 30 Trang 172 SGK

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ (0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh 2 √(sinx).

Lời giải:

Diện tích thiết diện là:

Vậy thể tích của vật thể đã cho là:

Bài 31 Trang 172 SGK

 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0; x = 4, y = √x – 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh A trục hoành.

Lời giải:

Giao điểm của đường y = √x – 1 và đường y = 0 có hoành độ giao điểm là x = 1, như vậy:

Bài 32 Trang 173 SGK

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 2/y, y = 1 và y = 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Lời giải:

Thể tích vật cần tìm là:

Bài 33 Trang 173 SGK

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = √5 y², x = 0, y = -1 và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành:

Luyện tập

Bài 34 Trang 174 SGK

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x, y = 1 và y = x²/4 trong miền x ≥ 0; y ≤ 1;

b) Đồ thị hai hàm số y = x⁴ – 4x² + 4; y = x², trục tung và đường thẳng x = 1;

c) Đồ thị các hàm số y = x², y = 4x – 4 và y = -4x – 4.

Lời giải:

a) Cách 1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và y = 1 là x = 1

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 và đường cong y = x²/4 trong miền x ≥ 0 là x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tìm chính là tổng diện tích tam giác cong OAC và tam giác cong ACB.

Diện tích tam giác cong OAC là:

Diện tích tam giác cong ACB là:

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:

Cách 2. Gọi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x=2 √y,dường thẳng x = y và y = 0 và đường thẳng y = 1. Diện tích cần tìm là:

b) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì x⁴ – 5x² + 4 = (x² – 1)(x² – 4) > 0 ∀x ∈ [0; 1]

c) Ta thấy đường thẳng y = -4x – 4 và đường thẳng y = 4x – 4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2.

Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x² nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cong OMT₂ và bằng:

Bài 35 Trang 175 SGK

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x² + 1 và y = 3 – x;

b) Các đường có Phương trình x = y³, y = 1, x = 8;

c) Đồ thị hai hàm số y = √x, y = 6 – x và trục hoành.

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của hai đồi thị hàm số y = x² + 1 và y = 3 – x là nghiệm của phương trình:

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Tung độ giao điểm của đường cong x = y³ và đường thẳng x = 8 là nghiệm của phương trình y³ = 8 ⇔ y = 2. Vậy diện tích cần tìm là:

c) Ta có: y = √x ⇔ y² = x (y ≥ 0); y = 6 – x ⇔ x = 6 – y

Tung độ giao điểm của hai đường thẳng x = y²; x = 6 – y là nghiệm của phương trình

Vậy diện tích cần tìm:

Bài 36 Trang 175 SGK

Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là 2√(sin⁡x).

Lời giải:

Diện tích thiết diện là

Vật thể tích của vật T cần tìm là:

Bài 37 Trang 175 SGK

 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x², y = 0, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức

Vậy thể tích cần tìm là:

Bài 38 Trang 175 SGK

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong y = cosx, y = 0, x = 0, x = π/4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình A quanh trục hoành.

Lời giải:

Thể tích cần tìm là:

Bài 39 Trang 175 SGK

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x.e^x/2, y = 0, x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Lời giải:

Bài 40 Trang 175 SGK

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khí quay hình B quanh trục tung.

Lời giải: