Bài 3. Tích phân | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG III - NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Bài 10 Trang 152 SGK

Không tìm căn nguyên hàm, hãy tính tích phân sau:

Hướng dẫn. Áp dụng định lí 1.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị y = (x/2) + 3

Suy ra diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi y = (x/2) + 3 và x = -2, x = -4, trục hoành là diện tích hình thang có chiều cao bằng 6 và hai đáy bằng 2 và bằng 5, cho nên:

S = (1/2).(2 + 5).6 = 21 (đvđt)

b) Vẽ đồ thị y = |x|.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x|, trục hoành x = -1, x = 2 bằng tổng diện tíc tam giác vuông OAB và diện tích tam giác OCD.

c) Vẽ đồ thị 

là nửa đường tròn, bán kính R = 3, diện tích nửa đường tròn là:

Bài 11 Trang 152 SGK

Lời giải:

Bài 12 Trang 153 SGK

Lời giải:

Bài 13 Trang 153 SGK

a) Chứng minh rằng nếu f(x) > 0 trên [a; b] thì

b) Chứng minh rằng nếu f(x) > g(x) trên [a; b] thì

Lời giải:

a) Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. , ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b]. do đó F(x) tăng trên đoạn [a; b]

Vì vậy a < b ⇒ F(a) < F (b)

b) Trên đoạn [a, b ] ta có; f(x) > g(x) nên f(x ) – g(x) > 0. Theo câu a, ta có: f(x ) – g(x) > 0, nên

Bài 14 Trang 153 SGK

a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 – 2sin2t (m/s). Tính quãng thời gian đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ điểm t = 0(s) đến thời điểm t = 3π/4 (s).

b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển được từ t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại.

Lời giải:

a) Quảng đường S đi được từ t = 0(s) đến t = 3π/4 (s) là

b) Khi vậy dừng lại thì v(t) = 0 ⇒ 160 – 10t = 0 ⇔ t= 16(s) vậy quãng đường đi được từ t = 0 đến khi dừng lại là:

Bài 15 Trang 153 SGK

Một vật di chuyển với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t² (m/s²). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Chọn mốc thời gian vật bắt đầu tăng tốc t₀ = 0

Phương trình vận tốc của vật:

Do lúc bắt đầu tăng tốc thì: v(0) = 10 m/s nên ta có:

V(0) = C = 10.

Suy ra, phương trình vận tốc:

Quãng đường đi được từ khi tăng tốc trong 10 giây là:

Vậy quãng đường đi được là 4300/3 (m).

Bài 16 Trang 153 SGK

Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s².

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới tốc độ cao nhất?

b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Giả sử rằng đạn được bắn lên từ mặt đất, khi đó:

v(t) = v₀ –  gt = 25 –  9,8t (t ≥ 0, t tính bằng giây)

Phương trình tính quãng đường của vật là:

S (t) = ∫v(t)dt =∫(25-9,8t)dt = 25t – 4,9t² + C (m)

Vì viên đạn được bắn từ mặt đất cho nên S(0) = 0

Suy ra: C = 0. Từ đó: S(t) = 25t –  4,9t²

Vì thế, sau thời gian t = 25/9,8 (giây) thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là:

b) Quãng đường mà viên đạn đi được khi bắn lên cho đến khi rơi xuống đất là: