Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG I - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 57 trang 55 SGK

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

f(x) = 2x³ + 3x² + 1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol

(P): g(x) = 2x² + 1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C).

Lời giải:

a) Hàm số: f(x) = y = 2x³ + 3x² +1

TXĐ: D = R

Đạo hàm: y’ = 6x² + 6x

Sự biến thiên, nghịch biến.

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1; 0)

Cực trị: y_CĐ = 2 khi x = -1

y_CT = 1 khi x = 0

Điểm uốn, tính lồi lõm:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 ⇔ 12x + 6 = 0 ⇔ x = -1/2 ⇒ y = 3/2

Bảng xét dấu

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số: f(x) = y = 2x³ + 3x² + 1

+ Giao điểm Oy: (0; 1)

+ Đi qua (-1; 2)

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và parabol (P) là nghiệm của phương trình:

f(x) = g(x) ⇔ 2x³ + 3x² + 1 = 2x² + 1

Vậy đường cong C và parabol (P) cắt tại 2 điểm: A(0; 1); B(-1/2; 3/2)

c) Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm A của đường cong (C ) và parabol (P) là: y’(0) = 0

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm A của đường cong (C) và parabol (P) y = 0(x – 0)+ 1 hay y = 1

Hệ số số góc tiếp tuyến tại giao điểm B của đường cong (C) và parabol (P) là:

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm B của đường cong (C) và parabol (P) là:

d) Để (C) nằm phía trên (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) phải thõa mãn điều kiện sau:

Vậy với x > -1/2 và x ≠ 0 thì (C) nằm phía trên (P).

Để (C) nằm phía dưới (P) thì 2 hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn điều kiện sau:

Vậy với x < -1/2 thì (C) nằm phía dưới (P).

Bài 58 trang 56 SGK

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Với các giá trị nào của m thì (d_m) đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho.

•Tại hai điểm phân biệt?

•Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải:

a)

TXĐ: D = R ∖ {−1}

Hàm số luôn đồng đồng biến trong khoảng (-∞; -1)và (-1;+∞)

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = -1.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 2.

Bảng biến thiên

Đồ thị

+ Giao Ox tại điểm (1/2; 0)

+ Giao Oy tại điểm (0; -1)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận  I(-1; 2) làm tâm đối xứng.

b) 

Cách 1:

Phương trình đường thẳng (d_m) qua điểm A(−2; 2) có hệ số góc m là:

y − 2 = m(x + 2) ⇔ y= mx + 2m + 2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

• Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác −1, tức là

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị.

⇔ Đường thẳng (d_m) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

⇔ (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < −1 < x₂

Kết hợp với (*) được m < 0

Vậy với m < 0 thì (d_m) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

Cách 2:

⇔ (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < −1 < x₂

⇔ af(-1) < 0

⇔ m(m(-1)² + 3m(-1) + 2m + 3) < 0

⇔ 3m < 0

⇔ m < 0

Vậy với m ∈(-∞; 0) thì đường thẳng (d_m) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.

Bài 59 trang 56 SGK

Chứng minh rằng các đồ thị của 3 hàm số

f(x) = -x² + 3x + 6; g(x) = x³ – x² + 4 và h(x) = x² + 7x + 8

tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1; 2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A).

Lời giải:

Để đồ thị của 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau tại A(-1; 2) thì 3 đồ thị đó có tiếp tuyến chung tại điểm A

⇔ hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm A bằng nhau. Ta có:

+ f’(x) = -2x+3 ⇒ f' (-1) = 5

+ g’(x) = 3x² – 2x ⇒ g' (-1) = 5

+ h’(x) = 2x+7 ⇒ h' (-1) = 5

Vậy 3 hàm số trên tiếp xúc với nhau nhau tại A(-1; 2)

Bài 60 trang 56 SGK

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số

tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Lời giải:

Hai hàm số f(x) và g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Vậy 2 đường cong trên cắt nhau tại M(0; 0)

Phương trình tiếp tuyến chung của f(x) và g(x) có hệ số góc k là: k = f’(0) = 3/2

Vậy Phương trình tiếp tuyến chung của f(x) và g(x) là

Bài 61 trang 56 SGK

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng đứng thẳng Oxy và tạo với trục hoành Ox một góc α. Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

g là gia tốc trọng trường.

chứng minh rằng với mọi α ∈ (0; π/2) γ_α luôn tiếp xúc với parabol (C) có phương trình là

và tìm tọa độ điểm (C) được gọi là parabol an toàn.

Lời giải:

Tọa độ giao điểm M của (γ_α) và (C) là nghiệm của hệ phương trình sau:

Giải (2)

Thế vào (1) ta thấy thỏa mãn.

⇒ Tiếp điểm M có tọa độ:

Luyện tập

Bài 62 trang 57 SGK

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R \ {-1}

Sự biến thiên:

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên D.

Giới hạn:

⇒ Đồ thị có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1

⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

+ Giao với Ox: (1; 0)

+ Giao với Oy: (0; -1)

b) Ta có giao điểm của 2 tiệm cận I(-1; 1)

Áp dụng công thức đổi trục

Thay vào hàm số

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số đã cho nhận I(-1; 1) làm tâm đối xứng.

Bài 63 trang 57 SGK

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua 1 điểm cố đinh của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải:

a) 

Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1/2

Lại có

⇒ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1/2

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

+ Giao với Ox: (-2; 0)

+ Giao với Oy: (0; 2)

b) Gọi điểm cố định mà đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua là I.

Cách 1:  

Thay vào phương trình y = mx + m   – 1

Để phương trình (*) luôn đúng với mọi m khi và chỉ khi:

Vậy đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua 1 điểm cố định I(-1; -1) của đường cong (H) khi m biến thiên.

Cách 2:

* Ta tìm điểm cố định của đường thẳng y = mx + m – 1.

Ta lại thấy điểm I thuộc đồ thị (H). Do đó,đường thẳng y = mx + m – 1 luôn đi qua 1 điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

Để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đường cong (H) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi và chỉ khi:

⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy với m < -3 hoặc -3 < m < 0 thì đường thẳng sẽ cắt (H) tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (H).

Bài 64 trang 57 SGK

Cho hàm số

a) Tìm a và b biết đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua qua điểm A(-1; 5/2) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O (0; 0) có hệ số góc bằng -3.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R \ {-1}

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O(0; 0) của đồ thị (C) ta có:

k = y'(0) = -3 ⇔ b = -3 (1)

Mặt khác ta có đồ thị hàm số (C) qua điểm A(-1; 5/2)

Từ (1) thế vào (2) ta được:

Vậy ta có giá trị của a, b là: a = -2; b = -3

Khi đó, phương trình của hàm số là

b) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số (C ).

TXĐ: D = R \ {1}

⇒ y < 0 ∀x ∈ R \ {1}

Vậy đồ thị có hàm số một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng y = -2x + 1.

Bảng biến thiên:

Bài 65 trang 58 SGK

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Với giá trị nào của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị của hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là 2 giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB nói trên m thay đổi.

Lời giải:

a) TXĐ: D = R \ {1}

Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 7

Giới hạn:

lim_x→1⁺⁡ y = +∞; lim_x→1^– ⁡y = –∞

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là đường thẳng: y = 2x + 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm (0; −1)

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m – x và đồ thị hàm số nghiệm của phương trình:

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Vậy với

thì đường thẳng y = m – x sẽ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

c) Gọi A(x_A; y_A), B(x_B, y_B) là hai giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C).

Gọi M(x_M; y_M ) là trung điểm của AB

Mà điểm M thuộc đường thẳng y = m – x (vì đường thẳng AB chính là y = m – x)

⇒ y_M = m – x_M = 6x_M – 2 – x_M = 5x_M – 2

Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn AB khi m biến thiên là: y = 5x –  2

Bài 66 trang 58 SGK

Tìm các hệ số a, b parabol y = 2x² + ax + b tiếp xúc với hypebol y = 1/x tại điểm M(1/2; 2)

Lời giải:

Tiếp điểm M chính là nghiệm của hệ phương trình:

Thay hoành độ của tiếp điểm (M) vào hệ phương trình (I) khi đó (I) trở thành:

thì parabol sẽ tiếp xúc với hyperbol tại điểm M.

Bài 67 trang 58 SGK

Một tạp chí với giá 20 nghìn đồng muột cuốn. chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chị (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, …) được cho bởi

C(x) = 0,0001x² – 0,2x + 10000

C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí hành cho mỗi là 4 nghìn đồng.

1⁰. a) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.

b) Tỉ số M(x) = T(x)/x được gọi là chi phí trung bình cho chi phí trung bình là thấp nhất.

2⁰. Các khoản thu bao gồm tiền sách và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp của báo chí. Giả sử số cuốn in ta đều bán được hết.

a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi x cuốn tạp chí là

L(x) = -0,0001x² + 1,8x – 1000

b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?

c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? tính số tiền lãi đó.

Lời giải:

1⁰.

a) Chi phí phát hành cho x cuốn sách là 0,4x (đơn vị vạn đồng). Vậy tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí là:

T(x) = C(x) + 0,4x = 0,0001x² + 0,2x + 10000

b)

Để chi phí trung bình là thấp nhất thì cần xuất bản 10000 cuốn tạp chí.

2⁰.

a) Số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là:

L(x) = 2x + 9000 – T(x) = 2x + 9000 – (0,0001x² + 0,2x + 10000)

= -0,0001x² + 1,8x – 1000

b) để có lãi thì L(x) > 0

⇔ -0,0001x² + 1,8x - 1000 > 0 ⇔ 573 < x < 17427

c) L(x) = -0, 0002x + 1, 8; 

L'(x) = 0 ⇔ x = 9000

Hàm số L(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 9000

Vậy in 9000 cuốn sách thì lãi nhiều nhất.

Số tiền lãi là: L(9000) = 71.000.000 đồng.