Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG I - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 40 trang 43 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = x³ + 3x² – 4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-2; 0)

+ y_CĐ = y(-2) = 0; y_CT = y(0) = -4

+ lim_x→–∞⁡ y = -∞; lim_x→+∞ y = +∞

+ y'' = 6x + 6 = 6(x + 1) = 0 ⇔ x = -1

Bảng xét dấu y’’

X	–∞		-1		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị		lồi	điểm uốn U(-1; -2)	lõm

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn U(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y = x³ + 3x² – 4 có điểm uốn U(-1; -2)

Ta có: y' = 3x² + 6x; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(-1; -2) có dạng

y – y₀ = y'(x₀)(x – x₀)

⇔ y + 2 = -3(x + 1)

⇔ y = -3x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x – 5.

c)

Cách 1. Đồ thị nhận U(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x₀ + x) + f(x₀ – x) = 2y₀ với ∀x

⇔ f(x – 1) + f(-x – 1) = -4 ∀x

⇔ (x – 1)³ + 3(x – 1)² – 4 +(-1 – x)³ + 3(-1 – x)² – 4 = -4 ∀x

⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 + 3x² – 6x + 3 – 4 – 1 – 3x – 3x² – x³ + 3 + 6x + 3x² – 4 = -4 ∀x

⇔ -4 = - 4 ∀x

⇒ I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Cách 2. Gọi U(-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.

Theo công thức đổi trục tọa độ

Phương trình trở thành Y = X³ – 3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ điều phải chứng minh.

Bài 41 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y = -x³ + 3x² – 1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình

-x³ + 3x² – 1 = m

Lời giải:

a) y = -x³ + 3x² – 1

Tập xác định D = R

y' = -3x² + 6x

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

y_CĐ = y(2) = 3; y_CT = y(0) = -1

y''= -6x + 6; y''= 0 ⇒ x = 1

- Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) lõm trên khoảng (1; +∞)

- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) -x³ + 3x² – 1 = m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y = -x³ + 3x² – 1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận:

Bài 42 trang 44 SGK

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 3)

y_CT = y(3) = -32/3; y_CĐ = y(-1) = 0

y''= 2x – 2 = 2(x – 1) = 0 ⇔ x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1).

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)

Bảng biến thiên

- Đồ thị

Đi qua (0; -5/3); (5; 0)

b) TXĐ: R

y'= 3x² – 3 = 0 ⇔ x =±1

y'> 0 trên khoảng (–∞; -1)và (1; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 1)

y_CĐ = y(-1) = 3; y_CT = y(1) = -1

Bảng xét dấu y’’

X	–∞		0		+∞
Y’’		–	0	+
Đồ thị	lồi		điểm uốn u(0; 1)		lõm

Hàm số có 1 điểm uốn U(0; 1)

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đi qua (0; 1)

c)

+ TXĐ D = R.

y'= -x² + 2x – 2 = -[(x – 1)² + 1] < 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

- Đồ thị không có tiệm cận.

y'' = -2x + 2; y''= 0 ⇒ x = 1

- Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (–∞; 1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.

Bảng biến thiên

d) y = x3 – 3x² + 3x + 1

TXĐ D = R

y'= 3x² – 6x + 3 = 3(x – 1)² > 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn đồng biến (–∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

lim_x→–∞⁡ y = +∞; lim_x→+∞⁡ y = –∞

- Đồ thị không có tiệm cận

y'' = 6x – 6; y'' = 0 ⇒ x = 1

- Đồ thị lồi trên (-∞; 1)

- Đồ thị lõm trên (1; +∞)

Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

Bảng biến thiên

Bài 43 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau

y = -x⁴ + 2x² – 2

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình

-x⁴ + 2x² – 2 = m

c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Lời giải:

a) Hàm số y = -x⁴ + 2x² – 2 (TXĐ: R)

* y'= -4x³ + 4x = 4x(-x² + 1) = 0

y'>0 trên khoảng (–∞; -1)và (0; 1)

y'<0 trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

y_CT = y(0)=-2; y_CĐ = y(-1) = y(1) = -1

lim_x→–∞⁡y = -∞; lim_x→+∞⁡y = –∞

- y'' = -12x² + 4 = 4(-3x² + 1) = 0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

b) Số nghiệm của Phương trình -x⁴ + 2x² – 2 = m (1) là giao điểm của đồ thị y = -x⁴ + 2x² – 2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

• m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

•

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

• m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

• -2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c) Hàm số y = -x⁴ + 2x² – 2 có 2 điểm uốn đó là:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:

Bài 44 trang 44 SGK

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x⁴ – 3x² + 2                           b) y = -x⁴ – 2x² + 1

Lời giải:

a) y = x⁴ – 3x² + 2   

TXĐ: R

•Bảng xét dấu y’’

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Giao với Oy (0; 2)

Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)

(-√2; 0); (√2; 0)

b) y = -x⁴ – 2x² + 1

TXĐ: R

y' = -4x³ – 4x = 4x(x² + 1) = 0 ⇔ x = 0

y'> 0 trên khoảng (–∞; 0), y'< 0 trên khoảng (0; +∞)

y_CĐ = y(0) = 1

lim_x→–∞⁡y = –∞; lim_x→+∞⁡y = -∞

y'' = -12x² – 4 < 0 ∀x ∈ R

Bảng xét dấu y’’

X	-∞	–	+∞
Y’’		Lồi
Đồ thị

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)

Luyện tập

Bài 45 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x³ – 3x² + 1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x³ – 3x² + m + 2 = 0

Lời giải:

a) y = x³ – 3x² + 1

TXĐ: R

y' = 3x² – 6x = 3x(x – 2) = 0

y'> 0 trên khoảng (-∞; 0) ∪ (2; +∞)

y' < 0 trên khoảng (0; 2)

y_CT = y(2) = -3; y_CĐ = y(0) = 1

y'' = 6x – 6 = 6(x – 1) = 0 ⇔ x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1)

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -1)

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Giao với Oy (0; 1)

b) x³ – 3x² + m + 2 = 0

⇔ x³ –  3x² + 1 = -1 – m (2)

Số nghiệm của Phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y = x³ – 3x² + 1 với đường thẳng y = -1 – m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu -1 – m > 1 ⇔ m < -2 phương trình (2) có 1 nghiệm.

- Nếu -1 – m = 1 ⇔ m = -2: Phương trình (2) có 2 nghiệm.

- Nếu -3 < -1 – m < 1 ⇔ -2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.

- Nếu -1 – m < -3 ⇔ m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm.

Kết luận:

-2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.

Bài 46 trang 44 SGK

Cho hàm số

y = (x + 1)(x² + 2mx + m + 2)

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (Cm) với trục hoành là nghiệm của phương trình:

Đặt f(x) = x² + 2mx + m + 2

Để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác -1.

Vậy với m thỏa mãn (*) thì đồ thị hàm số Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Với m = -1. Ta có: y = (x + 1)(x² – 2x + 1) = x³ – x² – x + 1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1/3)

Hàm số lõm trên khoảng (1/3; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn (1/3; 16/27)

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Giao với Ox(-1; 0); (1; 0) giao với Oy (0; 1) đi qua (2; 3)

Bài 47 trang 45 SGK

Cho hàm số

y = x⁴ – (m + 1)x² + m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) CMR đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Lời giải:

a) Với m = 2 ta có: y = x⁴ – 3x² +2

TXĐ: R

y'= 4x³ – 6x = 0 ⇔ 4x(2x³ – 3) = 0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua (1; 0); (-1; 0) (-√2; 0),(√2; 0),(0; 2)

b) Giả sử điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn di qua với mọi m.

Ta có:

Vậy hàm số đã cho luôn đi qua 2 điểm cố định: M₁ (-1; 0); M₂ (1; 0)

Bài 48 trang 45 SGK

Cho hàm số

y = x⁴ – 2mx² + 2m

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có 3 cực trị.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm uốn.

Lời giải:

a) Ta có y'= 4x³ –  4mx = 4x(x² – m)

Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

b) Với m = 1/2, ta có y = x⁴ – x² + 1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua (0; 1)

* y= x⁴ – x² + 1

Hàm số có 2 điểm uốn là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: