Câu hỏi và bài tập ôn tập chương IV | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG IV - SỐ PHỨC - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Bài 37 trang 208 SGK

Với x, y nào thì số phức đó là số thực?

a) (2 − 3i)³ ;

c) (x + iy)² − 2(x + iy) + 5 (x, y ∈ R). Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Lời giải:

a) Ta có: (2 − 3i)³

= 8 − 36i − 54 + 27i

= -46 − 9i 

Vậy phần thực là -46 và phần ảo là -9.

b) Ta có: 

Vậy phần thực là 23/26 và phần ảo là 63/26.

c) Ta có: (x + iy)² − 2(x + iy) + 5

= x² − y² + 2xyi − 2x− 2iy + 5

= (x² − y² − 2x + 5) + 2y(x − 1)i 

Vậy phần thực là: x² − y² − 2x + 5, phần ảo là: 2y(x − 1).

Để z là số thực thì: 2y(x − 1) = 0 ⇔ y = 0 hoặc x = 1.

Bài 38 trang 209 SGK

Chứng minh rằng |z| = |w| = 1 thì số

là số thực (giả sử 1 + zw ≠ 0).

Lời giải:

Cách khác:

Giả sử z = a + bi, w = a' + b'i với a² + b² = a'² + b'² = 1 và 1 + zw ≠ 0

Vì |z| = 1 nên

Khi đó, ta có:

Xét phần ảo ở trên tử số ta có: (b + b')(1 + aa' − bb') − (a + a')(a'b + ab')

= b + baa' − b²b'+ b'+ b' aa' − bb'² − aa' b − a²b' − a'² b − a'ab'

= b + b'− b'(a² + b2 ) − b(b'² + a'²)

= b + b' − b' − b = 0

Bài 39 trang 209 SGK

Giải các phương trình sau trên C:

a) (z + 3 − i)² − 6(z + 3 − i) + 13 = 0 ;

c) (z² + 1)² + (z + 3)² = 0.

Lời giải:

a) (z + 3 − i)² − 6(z + 3 − i) + 13 = 0

Đặt z + 3 − i = t, ta có phương trình: t² − 6t + 13 = 0

Có δ' = -4 = (2i)² ⇒ t₁ = 3 + 2i; t₂ = 3 − 2i

Với t₁ = 3 + 2i ⇒ z + 3 − i = 3 + 2i ⇒ z = 3i

Với t₂ = 3 − 2i ⇒ z + 3 − i = 3 − 2i ⇒ z = -i

Vậy phương trình có 2 nghiệm S = {3i; −i}.

b)

Ta có phương trình: t² − 3t − 4 = 0

⇒ t₁ = -1 hoặc t₂ = 4

Vậy phương trình có hai nghiệm

c) (z² + 1)² + (z + 3)² = 0

⇔ (z² + 1)² = -(z + 3)²

⇔ (z² + 1)² = [(z + 3)i]²

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm S = {1−2i; −1+i; 1+2i; −1−i}.

Bài 40 trang 209 SGK

Xét các số phức:

a) Viết z₁; z₂; z₃ dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy tính cos(7π/12) và sin(7π/12).

Lời giải:

Bài 41 trang 209 SGK

Cho z = (√6 + √2) + i(√6 – √2).

a) Viết z² dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.

Lời giải:

a) Ta có: z² = (√6 + √2)² – (√6 – √2)² + 2i(√6 + √2)(√6 – √2) = 8√3 + 8i

Mặt khác:

b) Ta có: z là một căn bậc hai của z² nên 

Bài 42 trang 209 SGK

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i; 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu tana = 1/2, tanb = 1/3 với a, b ∈ (0; π/2) thì a + b = π/4.

b) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i, 5 + i, 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu tana = 1/2, tanb = 1/5, tanb = 1/8 với a, b, c ∈ (0; π/2) thì a + b + c = π/4.

Lời giải:

a) Số z = 2 + i có một acgumen là a với tana = 1/2;

Số z’ = 3 + i có số acgumen là b với tanb = 1/3.

b) Số z₁ = 2 + i có acgumen là a với tana = 1/2;

z₂ = 5 + i có một acgumen là b với tanb = 1/5;

z₃ = 8 + i có một acgumen là c với tanc = 1/8.