Bài 5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG I - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 34 trang 35 SGK

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a)

TXĐ: D = R \ {-2/3}

nên đường thẳng y = 1/3 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → +∞ và khi x → -∞)

nên đường thẳng x = -2/3 là tiệm cận đứng của đồ thị x → (-2/3)^-

nên đường thẳng x = -2/3 là tiệm cận của đồ thị (khi x → (-2/3)⁺)

b)

TXĐ: D = R \ {-3}

nên đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → +∞ và khi x → -∞).

nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị x → (-3)^-

nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận của đồ thị (khi x → (-3)⁺)

c)

TXĐ: D = R \ {3}

nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → 3^- và khi x → 3⁺ ).

Đường thẳng y = x + 2 làm tiện cận xiên của đồ thị (khi x → -∞) và khi x → +∞)

d)

Cách 1.

TXĐ: R \ {-1/2}

Làm tương tự câu c) để có y = x/2 – 7/4 là tiệm cận xiên, x = -1/2 là tiệm cận đứng.

Cách 2.

TXĐ: R \ {-1/2 }

nên đường thẳng x = -1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → (-1/2)^- và khi x → (-1/2)⁺).

nên đường thẳng y=1/2 x – 7/4 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

nên đường thẳng y = 1/2 x – 7/4 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

e)

Hàm số xác định trên R \ {± 1}

nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → 1^- và khi x → 1⁺).

nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → (-1)^- và khi x → (-1)⁺).

nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → -∞ và khi x → +∞).

Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = ±1 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0’

f)

Hàm số xác định trên R \ {-1}

nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → -∞ và khi x → +∞).

nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → (-1)^- và khi x → (-1)⁺).

Kết luận: đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 và tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1

Bài 35 trang 35 SGK

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a)

b)

c)

d)

Bài 36 trang 35 SGK

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: (-∞,-1] ∪ [1; +∞)

Vậy đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

Kết luận: Đồ thị có tiệm cận xiên là y = -x (khi x → -∞) và y = x (khi x → +∞)

b) TXĐ: (-∞,-1] ∪ [1; +∞)

Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Vậy đường thẳng y = 3x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

Kết luận: các đường tiệm cận của đồ thị là: y = x (khi x → -∞), y = 3x (khi x → +∞)

c) TXĐ: D = R

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Vậy đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

Kết luận: các đường tiệm cận của đồ thị là: y = 0 (khi x → -∞), y=2x (khi x → +∞)

d) TXĐ: D = R

Vậy đường thẳng y = -x – 1/2 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Vậy đường thẳng y = x + 1/2 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

Kết luận: các đường tiệm cận xiên của đồ thị là: y = -x - 1/2 (khi x → -∞), y = x + 1/2 (khi x → +∞).

Luyện tập

Bài 37 trang 36 SGK

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

Lời giải:

a)

TXĐ: D = (-∞; -1] ∪ [1; +∞)

Vậy đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → +∞)

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → -∞)

Kết luận: các đường tiệm cận của đồ thị là: y = 2x (khi x → +∞), y = 0 (khi x → -∞)

b)

TXĐ: D = (-∞; 1] ∪ [3; +∞)

Ta có:

Vậy đường thẳng y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Đường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

c)

TXĐ: D = R

Ta có:

Vậy đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞)

Kết luận: Tiệm cận của đồ thị là: y = -x, (khi x → -∞) và y = x (khi x → +∞)

d)

TXĐ: D = R \ {± 1}

nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → (-1)^- và khi x → (-1)⁺).

Tương tự, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x → 1^- và khi x → 1⁺)

nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (khi x → -∞) và khi x → +∞).

Bài 38 Trang 36 SGK

a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số

b) Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI.

c) Viết phương trinh của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY.

Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C).

Lời giải:

a) TXĐ: R \ {3}

nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → 3^- và khi x → 3⁺)

Hàm số được viết lại là:

nên đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x → -∞ và khi x → +∞)

Kết luận: Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 3

Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = x + 1.

b) Gọi I là giao điểm của hai thẳng x = 3 và y = x + 1

Khi đó, tọa độ I là nghiệm của hệ

Vậy I(3; 4) đối với hệ tọa độ Oxy.

Công thức chuyển đổi hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:

c) Viết Phương trình đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY.

Vì là hàm số lẻ nên (C) nhận góc tọa độ I là tâm đối xứng.

Bài 39 trang 36 SGK

Cùng các câu hỏi như trong bài tập 38 đối với đồ thị của hàm số sau:

Lời giải:

a)

TXĐ: R \ {-2}

+ Tiệm cận xiên của đồ thị là y = x – 1 (khi x → -∞ và x → +∞)

nên đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x → (-2)^- và khi x → (-2)⁺)

+ Giao điểm I của hai đường tiệm cận là I(-2; -3).

+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:

+ Phương trình của đường cong (C₂) trong hệ tọa độ IXY:

Vậy (C₂) trong hệ tọa độ IXY có phương trình

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị (C₁) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

b)

+ Tiệm cận xiên của đồ thị C₂) là đường thẳng y = x – 3 (khi x → +∞) và khi x → -∞).

Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 5 (khi x → 5^- và khi x → 5⁺)

+ Giao điểm I của hai tiệm cận có tọa độ I (5; 2)

+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI là

+ Phương trình của đường cong C₂ trong hệ tọa độ IXY:

Ta có phương trình:

Đây là hàm lẻ nên đồ thị (C₂) nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.