Bài 4. Số e và lôgarit tự nhiên | Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | CHƯƠNG II - HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Bài 42 trang 97 SGK

Tìm sai lầm trong lập luận sau:

Ta có lne² = 2lne = 2.1 = 2 và ln(2e) = lne + lne = 1 + 1 = 2. Từ đó suy ra e² = 2e mà e ≠ 0 nên e = 2!

Lời giải:

Lập luận trên sai lầm chỗ ln(2e) = lne + lne.

Lập luận đúng là: ln(2e) = ln2 + lne.

Bài 43 trang 97 SGK

Biểu diễn các số sau đây theo a = ln2, b = ln5:

Lời giải:

+ ln500 = ln(5³.2²) = ln5³ + ln⁡2² = 3ln5 + 2ln2 = 3b + 2a

+ ln⁡(16/25) = ln16 – ln25 = ln2⁴ – ln⁡(5²) = 4ln2 – 2ln5 = 4a – 2b

+ ln⁡6,25 = ln⁡(625/100) = ln625 – ln100 = ln⁡(5⁴) – ln⁡(5².2²) = 4ln⁡5 – 2ln⁡5 – 2ln2 = 2ln5 – 2ln2 = 2b – 2a

Bài 44 trang 97 SGK

Chứng minh:

Lời giải:

Ta biến đổi vế trái:

Bài 45 trang 97 SGK

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức S = A.e^rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu của vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Lời giải:

Sau 5 giờ, từ công thức S = A.e^rt ta có 300 = 100.e^5r ⇒ 3 = e^5r

Sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là

⇒ S = 100.e^2ln3 = 100.(e^ln⁡3 )²= 100.3² = 100.9 = 900 (con)

Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì:

⇒ t ≈ 3,15 h = 3 giờ 9 phút.

Bài 46 trang 97 SGK

Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutanium Pu²³⁹ là 24360 năm (tức là một lượng Pu²³⁹ sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = Ae^rt, trong đó, A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại phân hủy sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau 10 gam Pu²³⁹ sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn lại 1 gam?

Lời giải:

Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:

Ta có:

Gọi t₀ là thời gian mà 10gam Pi²³⁹ phân hủy còn 1 gam ta có: